Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，S△AEF＝4，則下列結論：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16； ④△AEF∽△ACD，其中一定正確的是（　　）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①②

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AD∥BC，AD=BC，由點E是OA的中點，可得CE=3AE，再根據相似三角形對應邊成比例即可判斷；

②根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可判斷；

③根據等高的兩個三角形面積的比等于底與底的比即可求出三角形ABE的面積；

④假設△AEF∽△ACD，可得EF∥CD，即BF∥CD，由已知AB∥CD，可得BF和AB共線，由點E是OA的中點，即BE與AB不共線，得假設不成立，即△AEF和△ACD不相似，即可判斷．

解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AD∥BC，AD=BC，

∵點E是OA的中點，

∴CE=3AE，

∵AF∥BC，

∴△AEF∽△CEB，

∴，

∴BC=3AF，

∴FD=2AF，

所以結論①正確；

②∵△AEF∽△CEB，

CE=3AE，

∴，

∴S△BCE=9S△FAE=36，

所以結論②正確；

③∵△ABE和△CBE等高，且BE=3AE，

∴S△BCE=3S△ABE，

∴S△ABE=12，

所以結論③錯誤；

④假設△AEF∽△ACD，

∴EF∥CD，即BF∥CD，

∵AB∥CD，

∴BF和AB共線，

∵點E是OA的中點，即BE與AB不共線，

∴假設不成立，即△AEF和△ACD不相似，

所以結論④錯誤．

綜上所述：正確的結論有①②．

故選：D．