Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．直線經過點、．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是拋物線上一動點，過作軸交直線于點，設點的橫坐標為．

①若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值．

②當射線、、中一條射線平分另外兩條射線的夾角時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①的值為或或；②或．

【解析】

（1）先根據直線解析式求出A、C兩點的坐標，把點A和C點的坐標代入得關于b和c的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；

（2）當OC∥PM，且OC＝PM時，以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形，可得關于t的方程，解方程即可；

（3）分兩種情況考慮，當AC平分MP、MO的夾角，當MO平分AC、MP的夾角，可由圖形的性質得關于t的方程求解．

解：（1）在中，令x＝0，y＝3；令y＝0，x＝4，得A（4，0），C（0，3），

∵拋物線過點、，

∴，解得

∴拋物線的解析式為．

（2）①設點，

∵四邊形OCMP為平行四邊形，

∴PM＝OC＝3，PM∥OC，

∴M點的坐標可表示為，則．

∴，

當＝3，解得t＝2，

當＝3，解得，，

即的值為或或．

②如圖1，若AC平分MP、MO的夾角，過點C作CH⊥OA，CG⊥MP，

則CG＝CH，

∵S△MCO＝OMCH＝OCCG，

∴OM＝OC＝3，

∵點M在直線AC上，

∴M（t，t＋3），

∴MN2＋ON2＝OM2，可得，t2＋(t＋3)2＝9，

解得t＝，

如圖2，若MO平分AC、MP的夾角，則可得∠NMO＝∠OMC，過點O作OK⊥AC，

∴OK＝ON，

∵∠AKO＝∠AOC＝90，∠OAK＝OAC，

∴△AOK∽△ACO，

∴，

∴，

∴OK＝，

由角平分線的性質可得：點O到AC和MP的距離相等，

∴t＝，

綜合以上可得t的值為或．