Question

【題目】如圖，在四邊形中，，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，且.

（1）求證：；

（2）連接，且平分交于點.求證：是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據ASA證明ΔABF≌ΔBCE即可；

（2）根據直角三角形兩銳角互余、角平分線的性質以及余角的性質可得∠DBC=∠BDE，根據等角對等邊即可得到BC=CD，從而得到結論．

（1）∵BE⊥CD，AF⊥BE，

∴∠BEC=∠AFB=90°，

∴∠ABE+∠BAF=90°．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBC=90°，

∴∠BAF=∠EBC．

在ΔABF和ΔBCE中，

∵∠AFB=∠BEC，AF=BE，∠BAF=∠EBC，

∴ΔABF≌ΔBCE．

（2）∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠DBC=90°．

∵∠BED=90°，

∴∠DBE+∠BDE=90°．

∵BD分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE，

∴∠DBC=∠BDE，

∴BC=CD，

即ΔBCD是等腰三角形．