Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，﹣2），頂點為D，點E的坐標為（0，﹣1），該拋物線于BE交于另一點F，連接BC

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求△FHB的面積；
（3）一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度沿平行于y軸方向向上運動，連接OM，BM，設運動時間為t秒（t＞0），點M在運動過程中，當t為何值時，∠OMB=90°？
（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明利由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，﹣2）代入得a（﹣1）（﹣3）=﹣2，解得a=﹣ ，

所以拋物線解析式為y=﹣ （x﹣1）（x﹣3），即y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：設直線BE的解析式為y=mx+n，

把B（3，0），E（0，﹣1）代入得 ，解得 ，

∴直線BE的解析式為y= x﹣1，

同樣方法可求得直線BC的解析式為y= x﹣2，

解方程組 得 或 ，則F（ ，﹣ ）；

當x=1時，y= ﹣2=﹣ ，則H（1，﹣ ），

連接AH交BE于Q，如圖1，∵A（1，0），H（1，﹣ ），

∴AH⊥x軸，

∴Q（1，﹣ ），

∴HQ=﹣ + = ，

∴S△FHB=S△BHQ+S△FHQ= × ×（3﹣ ）

（3）

解：當x=2時，y=﹣ x2+ x﹣2= ，則D（2， ），

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

直線x=2交x軸于N，如圖2，MN=t+ ，ON=2，BN=1，

∵∠OMB=90°，即∠OMN+∠BMN=90°，

而∠OMN+∠MON=90°，

∴∠MON=∠BMN，

∴Rt△OMN∽Rt△MBN，

∴MN：BN=ON：MN，即MN2=BNON，

∴（t+ ）2=1×2，解得t1= ﹣ ，t2=﹣ ﹣ （舍去），

∴當t為 ﹣ 時，∠OMB=90°；

（4）

解：存在．

如圖3，BP交y軸于G，

∵AB平分∠FBP，

∴∠GBO=∠EOB，

∴點G與點E關于x軸對稱，

∴G（0，1），

設直線BG的解析式為y=px+q，

把G（0，1），B（3，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BQ的解析式為y=﹣ x+1，

解方程組 得 或 ，

∴P點坐標為（ ， ）．

【解析】（1）設交點式拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；（2）先利用待定系數法求出直線BE的解析式為y= x﹣1，直線BC的解析式為y= x﹣2，再解方程組 得F（ ，﹣ ）；接著確定H（1，﹣ ），連接AH交BE于Q，如圖1，利用點A和H的橫坐標特征得到AH⊥x軸，所以Q（1，﹣ ），然后利用三角形面積公式，利用S△FHB=S△BHQ+S△FHQ進行計算；（3）先求出D（2， ），直線x=2交x軸于N，如圖2，證明Rt△OMN∽Rt△MBN得到MN2=BNON，即（t+ ）2=1×2，然后解方程即可；（4）如圖3，BP交y軸于G，利用AB平分∠FBP得到點G與點E關于x軸對稱，則G（0，1），再利用待定系數法求出直線BQ的解析式為y=﹣ x+1，然后解方程組 即可得到P點坐標．