Question

【題目】如圖，已知二次函數y= x2+ x﹣ 的圖象與x軸交于點 A，B，交 y 軸于點 C，拋物線的頂點為 D．

（1）求拋物線頂點 D 的坐標以及直線 AC 的函數表達式；
（2）點 P 是拋物線上一點，且點P在直線 AC 下方，點 E 在拋物線對稱軸上，當△BCE 的周長最小時，求△PCE 面積的最大值以及此時點 P 的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點 P 且平行于 AC 的直線分別交x軸于點 M，交 y 軸于點N，把拋物線y= x2+ x﹣ 沿對稱軸上下平移，平移后拋物線的頂點為 D'，在平移的過程中，是否存在點 D'，使得點 D'，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，若存在，直接寫出點 D'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y= x2+ x﹣ = （x+1）2﹣ ，頂點D的坐標為（﹣1，﹣ ），

當y=0時， x2+ x﹣ =0，解得x1=﹣3，x2=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

當x=0時，y=﹣ ，

∴C（0，﹣ ），

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣

（2）解：∵△CPE得周長為BC+CE+BE，其中BC的長是固定的，

∴周長取得最小值就是BE+CE取得最小值，

∵點E是拋物線對稱軸上一點，

∴BE=AE，

∴BE+CE=AE+CE，

∴BE+CE的最小值是AC，點E是AC與對稱軸的交點．

∴點E為（﹣1，﹣ ）．

∵點P是拋物線上x軸下方一點，設點P為（t， t2+ t﹣ ）．且 t2+ t﹣ ＜0．

過點P作QP⊥x軸交直線AC于點Q，點Q坐標為（t，﹣ t﹣ ）．

當點p在對稱軸左側時，S△PCE=S△PCQ﹣S△PEQ= PQ（0﹣t）﹣ PQ（﹣1﹣t）= PQ，

當點P在對稱軸的右側時，S△PCE=S△PCQ+S△PEQ= PQ（0﹣t）+ PQ[t﹣（﹣1）]= PQ，

∵PQ=（﹣ t﹣ ）﹣（ t2+ t﹣ ）=﹣ t2﹣ t，

∴S△PCE= PQ=﹣ t2﹣ t=﹣ （t+ ）2+ ．

當t=﹣ 時，△PEC的面積最大，最大值是 ，此時，點P的坐標為（﹣ ，﹣ ）

（3）解：經過點P且平行于AC的直線MN的解析式為y=﹣ x﹣ ，

當x=0時，y=﹣ ，即N（0，﹣ ），當y=0時，x=﹣ ，即M（﹣ ，0），

設點D′的坐標為（﹣1，d），則MN2=（﹣ ）2+（﹣ ）2= ，MD′2=[﹣ ﹣（﹣1）]2+d2= +d2，ND′2=（﹣1）2+（﹣ ﹣d）2=d2+ d+ ．

當∠MD′N=90°時，MD′2+ND′2=MN2，即 +d2+d2+ d+ = ，

整理，得4d2+7 d﹣17=0，解得d1= ，d2= ，

當∠NMD′=90°時，MD′2=ND′2+MN2，即 +d2=d2+ d+ + ，

化簡，得 d=﹣ ，解得d=﹣ ，

當∠NMD′﹣90°時，ND′2=MD′2+MN2，即d2+ d+ = +d2+ ，

化簡，得 d= ，解得d= ，

∴存在點 D'，使得點 D'，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，D′點的坐標為（﹣1， ）（﹣1， ），（﹣1， ）（﹣1 ）

【解析】（1）利用配方法可配成頂點式，求出頂點坐標；（2）△BCE 的周長最小，即CE+BE最小，由對稱法可求得點E在AC與對稱軸的交點處時，△BCE 的周長最小，△PCE 面積的最大值可運用函數思想，設點P的橫坐標為t，其縱坐標用t的代數式表示，作出x軸垂線，把△PCE 分割為兩個有豎直邊的三角形，構建關于面積的函數，配成頂點式求出最值；（3）D'，M，N 三點構成的三角形為直角三角形須分類討論：∠MD′N=90°或∠NMD′=90°或∠NMD′﹣90°，利用勾股定理列出方程.