Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線．
實驗與探究：
（1）由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′（2，0）的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出他們的坐標：B′

 

、C′

 

；
歸納與發現：
（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為

 

（不必證明）；
運用與拓廣：
（3）已知兩點D（1，-3）、E（-1，-4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

分析：易找到點B關于第一、三象限角平分線的對稱點B′的坐標為（3，5），再結合已知的點A的坐標，我們不難猜想點C′坐標是（5，-2），然后找到點C′，可以發現CC′被第一、三象限角平分線垂直且平分，由此可以推想到坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a），即它們縱、橫坐標互換位置．

解答：解：（1）如圖：B′（3，5），C′（5，-2）；

（2）（b，a）；

（3）由（2）得，D（1，-3）關于直線l的對稱點D′的坐標為（-3，1），連接D′E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小．
設過D′（-3，1）、E（-1，-4）直線的解析式為y=kx+b，
則

-3k+b=1 -k+b=-4

∴

k=- 5 2 b=- 13 2

∴直線D′E的解析式為：y=-

5

2

x-

13

2

由

y=- 5 2 x- 13 2 y=x

得

x=- 13 7 y=- 13 7

∴所求Q點的坐標為（-

13

7

，-

13

7

）．

點評：本題的解答經歷了實驗--猜想--驗證--推廣的思維過程，這也是我們認識事物規律的一般方法，主要考查一次函數的性質和圖象，中等難度．