Question

【題目】已知如圖，以的邊為直徑作交斜邊于點連接并延長交的延長線于點，點為的中點，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若的半徑為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3．

【解析】

（1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論．
（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質即可得到結果．

證明：（1）如圖1，連接FO，

∵F為BC的中點，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直線垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE為⊙O的切線；
（2）如圖2，∵⊙O的半徑為3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，

∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=3，AC=6，
∴AD=3．