Question

【題目】（問題情境）

如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．

（探究展示）

(1)證明：AM=AD+MC；

(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（拓展延伸）

(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示(1)、(2)中的結論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AM=DE+BM成立，證明見解析；(3)①結論AM=AD+MC仍然成立；②結論AM=DE+BM不成立．

【解析】

（1）從平行線和中點這兩個條件出發，延長AE、BC交于點N，易證△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再證明AM=NM即可;（2）過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，

易證△ABF≌△ADE，從而證明AM=FM，即可得證；（3）AM=DE+BM需要四邊形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立.

(1)延長AE、BC交于點N，如圖1(1)，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

(2)AM=DE+BM成立．

證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1(2)所示．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE(ASA)．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

(3)①結論AM=AD+MC仍然成立．②結論AM=DE+BM不成立．