Question

已知如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，與直線y=

3

3

x相交于點P．
（1）求點P的坐標；
（2）求S_△OPA的值；
（3）動點E從原點O出發，沿著O→P→A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設運動t秒時，F的坐標為（a，0），矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．求：S與a之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）P點的縱坐標就是兩個函數值相等時，從而列出方程求出坐標．
（2）把OA看作底，P的縱坐標為高，從而可求出面積．
（3）應該分兩種情況，當在OP上時和PA時，討論兩種情況求解．

解答：解：（1）-

3

x+4

3

=

3

3

x
x=3，
y=

3

．
所以P（3，

3

）．

（2）0=-

3

x+4

3

．
x=4．
4×

3

×

1

2

=2

3

．
故面積為2

3

．

（3）當E點在OP上運動時，
∵F點的橫坐標為a，所以E點縱坐標為

3

3

a，
∴S=

1

2

×

3

3

a•a=

3

6

a²．
當點E在PA上運動時，
∵F點的橫坐標為a，所以E點縱坐標為-

3

a+4

3

．
M點橫坐標為：-3a+12，
∴S=（-

3

a+4

3

）a-

1

2

（-

3

a+4

3

）（-3a+12）=-

5 3

2

a²+16

3

a-24

3

．

點評：本題考查一次函數的綜合應用，關鍵是根據函數式知道橫坐標能夠求出縱坐標，橫縱坐標求出后能夠表示出坐標作頂點的矩形和三角形的面積以及求兩個函數的交點坐標．