Question

7．如圖點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，若AB=4，∠ABC=30°，D為邊AB上一動點，點E和D關于AC對稱，當D與A重合時，F為EC的延長線上滿足CF=EC的點，當D與A不重合時，F為EC的延長線與過D且垂直于DE的直線的交點，
（1）當D與A不重合時，CF=EC的結論是否成立？試證明你的判斷．
（2）設AD=x，EF=y 求y關于x的函數及其定義域；
（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上時，求出此時AD的值；如不存在，則請說明理由．
（4）請直接寫出當D從A運動到B時，線段EF掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）設DE交AC于M，DF交BC于N．由軸對稱圖形的性質可知EM=DM，ED⊥AC，然后可證明AC∥DF，由平行線分線成比例定理可知$\frac{CE}{CF}=\frac{EM}{MD}=1$；
（2）①當D與A不重合時．先證明四邊形CNDM是矩形，從而得到MD∥BC，由平行線的性質可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊銳角三角函數可知ED=$\sqrt{3}x$，DN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×$（4-x）=2-$\frac{1}{2}x$，然后由平行線分線段成比例定理可知DN=NF，從而得到DF=2DN=4-x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y與x的函數關系式；②當D與A重合時，y=2AC=4；
（3）①當點E在弧AC上時．由題意可知∠CAD=60°，由點E與點D關于AC對稱可知：∠EAD=120°，故此點E不在弧AC上，故當且僅當點D與點A重合是，點E也與點A重合時，成立；②當點F在$\widehat{BC}$上時，如圖3所示，連接BF、AF．由題意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，從而可證明△DFB為等邊三角形，于是得到DB=DF，然后再證明AD=DF，從而可知點D與點O重合，于是得到AD=$\frac{1}{2}AB$=2；
（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此點E運動的軌跡為一條線段，由（3）可知∠FBD=60°，故此點F運動的軌跡也是一條線段，然后畫出圖形，最后利用三角形的面積公式即可求得答案．

解答 解：（1）成立．
如圖1所示：設DE交AC于M，DF交BC于N．

∵點E與點D關于AC對稱，
∴EM=DM，ED⊥AC．
又∵DE⊥DF，
∴AC∥DF．
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{EM}{MD}=1$．
∴CE=CF．
（2）①當D與A不重合時．
∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，
∴四邊形CNDM是矩形．
∴MD∥BC．
∴∠ADM=∠ABC=30°．
∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，
∴MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$．
∴ED=$\sqrt{3}x$．
在Rt△BDN中，∠DBN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×$（4-x）=2-$\frac{1}{2}x$．
∵MD∥BC，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{FN}{DN}=1$．
∴DN=NF．
∴DF=2DN=4-x．
在Rt△EDF中，由勾股定理可知EF=y=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（4-x）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$（0＜x≤4）；
②當D與A重合時，如圖2所示；

∵CF=EF，
∴y=2AC=4．
（3）①當點E在弧AC上時．
∵∠CAD=60°，點E與點D關于AC對稱，
∴∠EAD=∠DAM=60°．
∴∠EAD=120°．
∵當點E在弧AC上時，∠EAD≤90°，
∴此種情況不成立．
故當且僅當點D與點A重合是，點E也與點A重合時，成立．
∴AD=0．
②當點F在$\widehat{BC}$上時，如圖3所示，連接BF、AF．

∵∠DBN=30°，∠BND=90°，
∴∠FDB=60°．
∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，
∴DF=DB．
∴△DFB為等邊三角形．
∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．
∴∠AFD=30°．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AFB=90°．
∵∠CFA=∠CBA=30°，
∴∠CFB=120°．
∴∠CFB+∠FBD=180°．
∴∠CF∥DB．
∴∠FAD=∠CFA=30°．
∴∠FAD=∠AFD=30°．
∴AD=DF=DB．
∴點D與點O重合．
∴AD=$\frac{1}{2}AB$=2．
綜上所述，AD=0或AD=2．
（4）如圖4所示；E、F的初始位置為E₁、F₁，E₁與A點重合，E、F的終止位置為E₂、F₂，F₂與B點重合．

∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，
∴點E運動的軌跡為線段AE₁．
∵由（3）可知∠FBD=60°，
∴點F運動的軌跡為線段BF₂．
∴陰影部分的面積即為所求，S=2×$\frac{1}{2}$×AC•BC=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了軸對稱圖形的性質、平行線分線段成比例定理、等邊三角形的性質和判定、等腰三角形的性質和判定，根據∠EAD和∠FBD為固定值，判斷點E、F運動的軌跡都是一條線段是解題的關鍵．