Question

12．已知反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$（k為常數，k≠1）．
（1）其圖象與正比例函數y=x的圖象的一個交點為P，若點P的縱坐標是2，求k的值；
（2）若在其圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；
（3）若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點A（x₁、x₂）、B（x₂、y₂），當y₁＞y₂時，試比較x₁與x₂的大小；
（4）若在其圖象上任取一點，向x軸和y軸作垂線，若所得矩形面積為6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設點P的坐標為（m，2），由點P在正比例函數y=x的圖象上可求出m的值，進而得出P點坐標，再根據點P在反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$的圖象上，所以2=$\frac{k-1}{2}$，解得k=5；
（2）由于在反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，故k-1＞0，求出k的取值范圍即可；
（3）反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$圖象的一支位于第二象限，故在該函數圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，所以A（x₁，y₁）與點B（x₂，y₂）在該函數的第二象限的圖象上，且y₁＞y₂，故可知x₁＞x₂；
（4）利用反比例函數的比例系數的幾何意義直接寫出答案即可．

解答 解：（1）由題意，設點P的坐標為（m，2）
∵點P在正比例函數y=x的圖象上，
∴2=m，即m=2．
∴點P的坐標為（2，2）．
∵點P在反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$的圖象上，
∴2=$\frac{k-1}{2}$，解得k=5．

（2）∵在反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，
∴k-1＞0，解得k＞1．

（3）∵反比例函數y=$\frac{k-1}{x}$圖象的一支位于第二象限，
∴在該函數圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．
∵點A（x₁，y₁）與點B（x₂，y₂）在該函數的第二象限的圖象上，且y₁＞y₂，
∴x₁＞x₂．

（4）∵在其圖象上任取一點，向兩坐標軸作垂線，得到的矩形為6，
∴|k|=6，
解得：k=±6．

點評 本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題及反比例函數的性質，熟知反比例函數的增減性是解答此題的關鍵．