Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx﹣的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）b的值及點D的坐標。
（2）線段AO上是否存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1；
（3）在x軸負半軸上是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵點A（﹣3，0）在二次函數y=x2+bx﹣的圖象上，
∴0=﹣3b﹣，解得b=1，
∴二次函數解析式為y=x2+x﹣=（x+3）（x﹣1），
∴點B（1，0），AB=1﹣（﹣3）=4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=4，
∴點D（﹣3，4），
故答案為：1；（﹣3，4）．
（2）直線PE交y軸于點E，如圖1，

假設存在點P，使得OE的長為1，設OP=a，則AP=3﹣a，
∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，
∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP，
tan∠ADP==，tan∠EPO==，
∴=，即a2﹣3a+4=0，
△=（﹣3）2﹣4×4=﹣7，無解
故線段AO上不存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1．
（3）假設存在這樣的點P，DE交x軸于點M，如圖2，

∵△PED是等腰三角形，
∴DP=PE，
∵DP⊥PE，四邊形ABCD為正方形
∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，
在△PEO和△DAP中，
，
∴△PEO≌△DAP，
∴PO=DA=4，OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1，
∴點P坐標為（﹣4，0）．
∵DA⊥x軸，
∴DA∥EO，
∴∠ADM=∠OEM（兩直線平行，內錯角相等），
又∵∠AMD=∠OME（對頂角），
∴△DAM∽EOM，
∴==，
∵OM+MA=OA=3，
∴MA=×3=，
△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為×AD×AM=×4×=．
答：存在這樣的點P，點P的坐標為（﹣4，1），此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．
【解析】（1）利用點在二次函數圖象上，代入即可求得b，將二次函數換成交點式，即能得出B點的坐標，由AD=AB可算出D點坐標；
（2）假設存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一個關于OP長度的一元二次方程，由方程無解可得知不存在這樣的點；
（3）利用角和邊的關系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面積即是所求．