Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點，拋物線交軸于點，交軸正半軸于點，拋物線的頂點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點為直線下方的拋物線上一動點，當的面積最大時，求的面積及點的坐標；

（3）若點為軸上一動點，點在拋物線上且位于其對稱軸右側，當與相似時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2），；（3）或或或

【解析】

（1）將點代入中求出點B坐標，將點A，B，C坐標代入中求解即可；

（2）如圖所示作輔助線，設點P，點E，表達出EP的長度，將△ABP分割成兩個三角形進行計算，再利用二次函數的性質求最大值即可；

（3）通過坐標得出△MAD是等腰直角三角形，從而判斷也是等腰直角三角形，再對進行分類討論．

解：（1）將點代入中得，

∴點，

將點、、代入中得

，解得：，

∴

（2）如圖①，過點P作EP⊥x軸，交AB于點E，則設點P，點E，

∴EP=，

∴

∵，開口向下，

∴當時，最大，

此時P

（3）在中，令y=0得，

解得，

∴點D（3，0）

又∵M（1，-2）

∴AD=4，AM=DM=，

∵

∴△MAD是等腰直角三角形，

若與相似，則也是等腰直角三角形，

有以下情況：

①當∠MQN=90°，且點N與點D重合時，如下圖所示，滿足要求，此時N（3，0）

②當∠MQN=90°，點N在x軸上方時，如下圖所示，作NF⊥x軸，ME⊥于x軸，

則△NFQ≌△QEM（AAS），

∴EM=FQ=2，EQ=NF

設 （ ），則

∴EQ=t+2-1=t+1

∴

解得：，（舍去），

∴N

③當∠QMN=90°時， △與重合，N（3，0），

④當∠QNM=90°時，且點N在x軸上方時，如圖所示作NH⊥x軸，NF⊥直線x=1

則△QHN≌△MFN，

∴FN=NH

設，則,

∴

解得：（舍去）

此時N

⑤當∠QNM=90°時，且點N在x軸下方時，如圖所示作NP⊥x軸，NG⊥直線x=1，

則△QPN≌△NGM

∴PN=GN

設，則, ，

∴

解得（舍去）

此時N

綜上所述，或或或．