Question

已知二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函數的圖象與二次函數的圖象交于兩點（在的左側），且點坐標為．平行于軸的直線過點．

（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，二次函數的圖象與軸交于兩點，一次函數圖象交軸于點．當為何值時，過三點的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

（1）把代入得，
一次函數的解析式為；
二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為軸，
設二次函數解析式為，
把代入得，
二次函數解析式為．
（2）由
解得或，
，
過點分別作直線的垂線，垂足為，
則，
直角梯形的中位線長為，
過作垂直于直線于點，則，，
，
的長等于中點到直線的距離的2倍，
以為直徑的圓與直線相切．
（3）平移后二次函數解析式為，
令，得，，，
過三點的圓的圓心一定在直線上，點為定點，
要使圓面積最小，圓半徑應等于點到直線的距離，
此時，半徑為2，面積為，
設圓心為中點為，連，則，
在三角形中，，
，而，，
當時，過三點的圓面積最小，最小面積為．
說明：本答案解答題中解法只給出了1種或2種，其它解法只要步驟合理、解答正確均應得到相應分數．

（1）已知了一次函數的圖象經過A點，可將A點的坐標代入一次函數中，即可求出一次函數的解析式．由于拋物線的頂點為原點，因此可設其解析式為y=ax²，直接將A點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式；
（2）求直線與圓的位置關系需知道圓心到直線的距離和圓的半徑長．由于直線l平行于x軸，因此圓心到直線l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長，根據（1）中兩函數的解析式即可求出B點的坐標，根據A、B兩點的坐標即可求出AB的長．然后判定圓的半徑與1的大小關系即可；
（3）先設出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=2．因此過F，M，N三點的圓的圓心必在直線x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點的距離也要最小（設圓心為C），即F，C兩點的縱坐標相同，因此圓的半徑就是2．C點的坐標為（2，1）（可根據一次函數的解析式求出F點的坐標）．可設出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設對稱軸與x軸的交點為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．（也可根據C點的坐標求出M，N點的坐標，然后用待定系數法求出平移后的拋物線的解析式，經過比較即可得出平移的距離，即t的值）．