Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點C在⊙O的半徑OA上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC＝5，PT為⊙O的切線，切點為T．

（1）如圖1，當C點運動到O點時，求PT的長；

（2）如圖2，當C點運動到A點時，連接PO、BT，求證：PO∥BT；

（3）如圖3，設PT＝y，AC＝x，求y與x的解析式并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）PT＝3；（2）見解析；（3）y＝，y最小＝3．

【解析】

（1）連接OT，根據題意，由勾股定理可得出PT的長；

（2）連接OT，則OP平分劣弧AT，則∠AOP＝∠B，從而證出結論；

（3）設PC交⊙O于點D，延長線交⊙O于點E，由相交弦定理，可得出CD的長，再由切割線定理可得出y與x之間的關系式，進而求得y的最小值．

解：如圖（1），連接OT，

∵PC＝5，OT＝4，

∴由勾股定理得，

（2）證明：如圖（2）連接OT，

∵PT，PC為⊙O的切線，

∴∠OPA＝∠OPT，∠PAO＝∠PTO，

∴∠POA＝∠POT，

∵∠AOT＝2∠B，

∴∠AOP＝∠B，

∴PO∥BT；

（3）解：如圖（3），連接PO，PT

∵AB是⊙O的直徑，AB＝8，AC＝x

∴CO＝4﹣x；

又∵PC⊥AB

∴

∴y＝

∴．