Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4經過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，D（4﹣4，0）．動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點Q從點C出發，沿線段CA以某一速度向點A移動．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；

（3）在第一象限的拋物線上取一點G，使得S△GCB＝S△GCA，再在拋物線上找點E（不與點A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用待定系數法求二次函數解析式得出即可；

（2）首先求出△AQD∽△ACB，則，得出DQ＝DP的長，進而得出答案；

（3）首先得出G點坐標，進而得出△BGM∽△BEN，進而假設出E點坐標，利用相似三角形的性質得出E點坐標．

解：（1）將A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，

解得：，

故拋物線的解析式為：；

（2）如圖，連接QD，

由B（4，0）和D（，0），

可得BD＝，

∵，

∴CO＝4，

∴BC＝4，則BC＝BD，

∴∠BDC＝∠BCD＝∠QDC，

∴DQ∥BC，

∴△AQD∽△ACB，

∴，

∴，

∴DQ＝＝DP，

；

（3）如圖，過點G作GM⊥BC于點M，過點E作EN⊥AB于點N，

∵S△GCB＝S△GCA，

∴只有CG∥AB時，G點才符合題意，

∵C（0，4），

∴4＝﹣x2+x+4，

解得：x1＝1，x2＝0，

∴G（1，4），

∵∠GBE＝∠OBC＝45°，

∴∠GBC＝∠ABE，

∴△BGM∽△BEN，

∴，

設E

∴

解得，x2＝4（舍去），

則E．