Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+12x﹣30的頂點為A，對稱軸AB與x軸交于點B．在x上方的拋物線上有C、D兩點，它們關于AB對稱，并且C點在對稱軸的左側，CB⊥DB．

（1）求出此拋物線的對稱軸和頂點A的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找出點Q，使它到A、C兩點的距離相等，并求出點Q的坐標；
（3）延長DB交拋物線于點E，在拋物線上是否存在點P，使得△DEP的面積等于△DEC的面積？若存在，請你直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為 ，頂點坐標為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+12x﹣30=﹣（x﹣6）2+6

∴此拋物線的對稱軸為x=6，頂點A的坐標（6，6）．

（2）

解：

∵C、D關于AB對稱，

∴BC=BD，CD∥x軸；

又∵CB⊥DB，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠DCB=45°，即△BCG為等腰直角三角形，CG=BG；

設點C的橫坐標為a，則CG=6﹣a，BG=CG=6﹣a，即C（a，6﹣a），代入y=﹣x2+12x﹣30，得：

6﹣a=﹣a2+12a﹣30，解得：a1=4、a2=9（舍）

∴C（4，2）；

設Q（6，m），則AQ=6﹣m，CQ=

∵AQ=CQ，

∴6﹣m= ，

解得m=

∴Q（6， ）．

（3）

解：

設直線DE的解析式：y=kx+b，代入D（8，2）、B（6，0），得：

，

解得

故直線DE：y=x﹣6；

若△DEP的面積等于△DEC的面積，則點C、P到直線DE的距離相等；

①過點C作直線l1∥DE，可設其解析式為：y=x+b1，代入C（4，2）解得：b1=﹣2；

即：直線l1 y=x﹣2，聯立拋物線的解析式有：

，

解得 、

故P1（7，5）．

②過點D作DF∥CB，交x軸于點F，則四邊形DCBF為平行四邊形，且有：DF⊥DE，BF=CD=4，即F（10，0）；

過點F作直線l2∥DE，同①易求得直線l2：y=x﹣10，聯立拋物線的解析式，有：

，

解得 、

故P2（ ， ）、P3（ ， ）．

綜上，符合條件的點P的坐標為P1（7，5）、P2（ ， ）、P3（ ， ）．

【解析】（1）將已知的拋物線解析式化為頂點式，即可得到拋物線對稱軸方程以及頂點的坐標．（2）此小題首先要求出點C的坐標；對于Rt△CBD來說，C、D關于拋物線對稱軸對稱，則CB=BD，那么△CBD是等腰直角三角形，若設拋物線對稱軸與CD的交點為G，那么△BCG也是等腰直角三角形，可先設出點C的橫坐標，再由Rt△BCG的特殊形狀表示出點C的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出點C的坐標．拋物線對稱軸已知，設出點Q的縱坐標后，依坐標系兩點間的距離公式表示出CQ、AQ的長，由CQ=AQ列出方程求出點Q的坐標．（3）若△DEP、△DEC的面積相等，那么點P與點C到直線DE的距離相同；
①過點C作平行于DE的直線，該直線與拋物線的交點為符合條件的點P，此時點P、C到直線DE的距離相同；
②過點D作DF∥BC，交x軸于點F，此時四邊形DCBF是平行四邊形，那么DF⊥DE，且DF=BC，那么過點F與直線DE平行的直線與拋物線的交點也是符合條件的點P．