Question

【題目】如圖，拋物線y=與x軸交于A，B（點A在點B的左側）與y軸交于點C，連接AC、BC．過點A作AD∥BC交拋物線于點D（8，10），點P為線段BC下方拋物線上的任意一點，過點P作PE∥y軸交線段AD于點E．

（1）如圖1．當PE+AE最大時，分別取線段AE，AC上動點G，H，使GH=5，若點M為GH的中點，點N為線段CB上一動點，連接EN、MN，求EN+MN的最小值；

（2）如圖2，點F在線段AD上，且AF：DF=7：3，連接CF，點Q，R分別是PE與線段CF，BC的交點，以RQ為邊，在RQ的右側作矩形RQTS，其中RS=2，作∠ACB的角平分線CK交AD于點K，將△ACK繞點C順時針旋轉75°得到△A′CK′，當矩形RQTS與△A′CK′重疊部分（面積不為0）為軸對稱圖形時，請直接寫出點P橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2-（2）當xP=2-1或2＜xP＜6-6時，矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對稱圖形

【解析】

（1）先通過二次函數解析式求出點A，B的坐標，再求出AC，AB，CB的長度，用勾股定理逆定理證直角三角形，求出直線AD的解析式，用含相同字母的代數式分別表示E，Q，P的坐標，并表示出EP長度，求出AE長度，根據二次函數的性質求出EA+EP最大值時點E的坐標．最后作出點E關于CB的對稱點，利用兩點之間線段最短可求出結果；

（2）由旋轉的性質得到三角形CA′K與三角形CAK全等，且為等腰直角三角形，求出A′，K′的坐標，求出直線A′K′及CB的解析式，求出交點坐標，通過圖象觀察出P的橫坐標的取值范圍．

（1）在拋物線y=x2-x-6中，

當y=0時，x1=-2，x2=6，

當x=0時，y=-6，

∵拋物線y=x2-x-6與x軸交于A，B（點A在點B左側），與y軸交于點C，

∴A（-2，0），B（6，0），C（0，-6），

∴AB=8，AC=，BC=，

在△ABC中，

AC2+BC2=192，AB2=192，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=90°，

過點D作DL⊥x軸于點L，

在Rt△ADL中，

DL=10，AL=10，

tan∠DAL==，

∴∠DAB=30°，

把點A（-2，0），D（8，10）代入直線解析式，

得，

解得k=，b=2，

∴yAD=x+2，

設點E的橫坐標為a，EP⊥y軸于點Q，

則E（a，a+2），Q（a，0），P（a，a2-a-6），

∴EQ=a+2，EP=a+2-（a2-a-6）=a2+a+8，

∴在Rt△AEB中，

AE=2EQ=a+4，

∴PE+AE=a+4+（a2+a+8）

=a2a+12

=（a-5）2+

∴根據函數的性質可知，當a=5時，PE+AE有最大值，

∴此時E（5，7），

過點E作EF⊥CB交CB的延長線于點F，

則∠EAC=∠ACB=∠ACF=90°，

∴四邊形ACFE是矩形，

作點E關于CB的對稱點E'，

在矩形ACFE中，由矩形的性質及平移規律知，

xF-xE=xC-xA，yE-yF=yA-yC，

∵A（-2，0），C（0，-6），E（5，7），

∴xF-5=0-（-2），7-yF=0-（-6），

∴xF=7，yF=1，

∴F（7，1），

∵F是EE′的中點，

∴，，

∴xE′=9，yE′=-5，

∴E'（9，-5），

連接AE'，交BC于點N，則當GH的中點M在E′A上時，EN+MN有最小值，

∴AE′==2，

∵M是Rt△AGH斜邊中點，

∴AM=GH=，

∴EN+MN=E′M=2-，

∴EN+MN的最小值是2-．

（2）在Rt△AOC中，

∵tan∠ACO==，

∴∠AOC=30°，

∵KE平分∠ACB，

∴∠ACK=∠BCK=45°，

由旋轉知，△CA′K′≌△CAK，∠AC′A′=75°，

∴∠OCA′=75°-∠ACO=45°，∠AC′K′=45°，

∴OCK′=90°，

∴K′C⊥y軸，△CAK′是等腰直角三角形，

∴A′C=AC=4，

∴xA′==2，yA′=2-6，

∴A′（2，2-6），

∴K′（4，-6），

將A′（2，2-6），K′（4，-6），代入一次函數解析式，

得，

解得k=-1，b=4-6，

∴yA′K′=-x+4-6，

∵CB∥AD，

∴將點C（0，-6），B（6，0）代入一次函數解析式，

得，

解得k=，b=-6，

∴yCB=x-6，

聯立yA′K′=-x+4-6和yCB=x-6，

得-x+4-6=x-6，

∴x=6-6，

∴直線CB與A′K′的交點橫坐標是6-6，

∵當EP經過A′時，點P的橫坐標是2，

∴如圖2，當2＜xP＜6-6時，重疊部分是軸對稱圖形；

如圖3，由于RS的長度為2，由圖可看出當xP=2-1時，重疊部分同樣為軸對稱圖形；

綜上，當xP=2-1或2＜xP＜6-6時，

矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對稱圖形．