Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC．有下列結論：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為﹣，其中正確的結論個數是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由二次函數圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點可分別判斷出a、b、c的符號，從而可判斷①；由對稱軸=2可知a=，由圖象可知當x=1時，y＞0，可判斷②；由OA=OC，且OA＜1，可判斷③；把-代入方程整理可得ac2-bc+c=0，結合③可判斷④；從而可得出答案．

解：∵圖象開口向下，∴a＜0，

∵對稱軸為直線x=2，∴＞0，∴b＞0，

∵與y軸的交點在x軸的下方，∴c＜0，

∴abc＞0，故①錯誤.

∵對稱軸為直線x=2，∴=2，∴a=，

∵由圖象可知當x=1時，y＞0，

∴a+b+c＞0，∴4a+4b+4c>0，∴4()+4b+4c>0，

∴3b+4c>0，故②錯誤.

∵由圖象可知OA＜1，且OA=OC，

∴OC＜1，即-c＜1，

∴c＞-1，故③正確.

∵假設方程的一個根為x=-，把x=-代入方程可得+c=0，

整理可得ac-b+1=0，

兩邊同時乘c可得ac2-bc+c=0，

∴方程有一個根為x=-c，

由③可知-c=OA，而當x=OA是方程的根，

∴x=-c是方程的根，即假設成立，故④正確.

綜上可知正確的結論有三個：③④.

故選B.