Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣2mx+m2+m的頂點為A，與y軸交于點B．當拋物線不經過坐標原點時，分別作點A、B關于原點的對稱點C、D，連結AB、BC、CD、DA．

（1）分別用含有m的代數式表示點A、B的坐標．

（2）判斷點B能否落在y軸負半軸上，并說明理由．

（3）連結AC，設l=AC+BD，求l與m之間的函數關系式．

（4）過點A作y軸的垂線，交y軸于點P，以AP為邊作正方形APMN，MN在AP上方，如圖②，當正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（m， m），（0，m2+m）；（2）點B能落在y軸負半軸上；（3）l=2m2﹣m；（4）m＜﹣1．

【解析】試題分析：

（1）①把配方化為頂點式，可得頂點A的坐標；②在中，由可得，由此可得點B的坐標；

（2）由頂點A的位置可得“”；由點B的坐標為可知，若點B在軸負半軸，則有，兩者結合可解得： 時，點B就在軸負半軸；

（3）由題意可知： =AC+BD=2OA+OB，由點A、B的坐標可用和含“”的代數式表達出OA、OB的長度，從而可得與間的函數關系式；

（4）由題意可知，當AP<BP時，正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時，由AP= ，BP= 列出不等式，結合即可求出的取值范圍；

試題解析：

（1）∵把配方，得： ，

∴頂點A的坐標為；

∵在中，當時， ；

∴點B的坐標為；

（2）點B能落在y軸負半軸上，理由如下：

由圖可知頂點A在第三象限，

∴，

∵B點的縱坐標要小于零，

∴，

由，得： ，

解得： ，

即當時，點B能落在軸的負半軸上；

（3）由點A、B關于原點的對稱點分別為C、D，可得：AC=2OA，BD=2OB，

∵A的坐標為，B的坐標為，

∴OA= ，OB= ，

∴=AC+BD=2OA+2OB= ；

（4）由題意，當正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時，AP＜BP，

∵AP= ，BP= ，

∴ ，即，

又∵，

∴，解得： ，

∴當正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時， 的取值范圍是： .