Question

已知一次函數y=mx+2m+8與x軸、y軸交于點A、B，若圖象經過點C（2，4）．
（1）求一次函數的解析式；
（2）過點C作x軸的平行線，交y軸于點D，在△OAB邊上找一點E，使得△DCE構成等腰三角形，求點E的坐標；
（3）點F是線段OB（不與點O、點B重合）上一動點，在線段OF的右側作正方形OFGH，連接AG、BG，設線段OF=t，△AGB的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將C坐標代入一次函數解析式中求出m的值，即可確定出一次函數解析式；
（2）根據題意畫出相應的圖形，根據圖形找出所有滿足題意E的坐標即可；
（3）分兩種情況考慮：①當0＜t＜3時，如圖1所示；由四邊形OFGH是正方形，利用正方形的邊長相等得到OF=OH=FG=GH=t，進而確定得到AH=BF=OB-OF=6-t，由S_△ABG=S_△AOB-S_△FBG-S_△AHG-S_正方形，即可列出關系式；②當3＜t＜6時，如圖2所示，同理由S_△ABG=S_△FBG+S_△AHG+S_正方形-S_△AOB列出關系式．

解答：
解：（1）把點C（2，4）代入一次函數y=mx+2m+8得：2m+2m+8=4，
解得m=-1，
則一次函數解析式為y=-x+6；

（2）點E在OB上時，E₁（0，2），E₂（0，6）；
作出CD的垂直平分線，交直線AB于E₄，交x軸于E₃，如圖3所示，
可得出點E在OA上時，E₃（1，0）；
點E在AB上時，E₄（1，5）；
過E₅作E₅M⊥CD，△E₅MC為等腰直角三角形，
∵E₅C=CD=2，
∴E₅M=MC=

2

2

E₅C=

2

，
∴E₅（2-

2

，4+

2

）
同理E₆（2+

2

，4-

2

）；

（3）分兩種情況考慮：
①當0＜t＜3時，如圖1所示；
∵四邊形OFGH是正方形，
∴OF=OH=FG=GH=t，AH=BF=OB-OF=6-t，
則S_△ABG=S_△AOB-S_△FBG-S_△AHG-S_正方形=18-

1

2

t（6-t）-

1

2

t（6-t）-t²=18-6t；
②當3＜t＜6時，如圖2所示，同理得到S_△ABG=S_△FBG+S_△AHG+S_正方形-S_△AOB=6t-18．

點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求一次函數解析式，等腰三角形的性質，坐標與圖形性質，正方形的性質，利用了數形結合及分類討論的思想，畫出相應的圖形是本題的突破點．