Question

【題目】已知：如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD//BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH

（2）解：△PHD的周長不變為定值8．

證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

在△ABP和△QBP中，

，

∴△ABP≌△QBP（AAS）．

∴AP=QP，AB=QB．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）．

∴CH=QH．

∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

【解析】（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質和翻折變換（折疊問題），需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能得出正確答案．