Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（0，8），B（﹣4，0），線段AB的垂直平分線CD分別交AB、OA于點C、D，其中點D的坐標為（0，3）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求線段CD的長；

（3）點E為y軸上一個動點，當△CDE為等腰三角形時，求E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=2x+8；（2）CD=；（3）滿足題意的點E坐標為（0，5+）或（0，5﹣）或（0，5）或（0，）．

【解析】

（1）用待定系數法求解即可；

（2）先由勾股定理求出AB的長，再由垂直平分線的性質求出AC的長，然后證明△CAD∽△OAB，利用相似三角形的對應邊成比例即可求出CD的長，

（3）先由△CAD∽△OAB，求出AD和OD的長，然后分當CD=DE時，當CD=CE時，當CE=DE時三種情況求解即可；

（1）∵A（0，8），

∴設直線AB的解析式為y=kx+8，

∵B（﹣4，0），

∴﹣4k+8=0，

∴k=2，

∴直線AB的解析式為y=2x+8；

（2）∵A（0，8），B（﹣4，0），

∴OA=8，OB=4，AB=4，

∵CD是AB的垂直平分線，

∴∠ACD=90°，AC=AB=2，

∵∠ACD=∠AOB=90°，∠CAD=∠OAB，

∴△CAD∽△OAB，

∴，

∴，

∴CD=，

（3）∵△CAD∽△OAB，

∴，

∴，

∴AD=5，

∴OD=OA﹣AD=3，D（0，3），

當CD=DE時，DE=，

∴E（0，5+）或（0，5﹣），

當CD=CE時，如圖1，

∵A（0，8），B（﹣4，0），

∴C（﹣2，4），

過點C作CF⊥y軸于F，

∴DF=EF，F（0，4），

∴E（0，5）；

當CE=DE時，如圖2，過E作E'G⊥CD，則E'G是線段CD的中垂線，

∵AB⊥CD，

∴E'G是△ACD的中位線，

∴DE'=AE'=AD=，

∴OE'=OD+DE'=，

∴E（0，），

即：滿足題意的點E坐標為（0，5+）或（0，5﹣）或（0，5）或（0，）．