Question

【題目】數學課上，張老師出示了問題：如圖1，、是四邊形的對角線，若，則線段，，三者之間有何等量關系？

經過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長到，使，連接，證得，從而容易證明是等邊三角形，故，所以.

小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將繞著點逆時針旋轉，使與重合，從而容易證明是等比三角形，故，所以.

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

（1）小穎提出：如圖4，如果把“”改為“”，其它條件不變，那么線段，，三者之間有何等量關系？針對小穎提出的問題，請你寫出結論，并給出證明.

（2）小華提出：如圖5，如果把“”改為“”，其它條件不變，那么線段，，三者之間有何等量關系？針對小華提出的問題，請你寫出結論，不用證明.

Answer 1

【答案】（1）BC+CD=AC（2）BC+CD=2ACcosα

【解析】

試題分析：（1）先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判斷∠ADE=∠ABC也可以先判斷出點A，B，C，D四點共圓）

（2）先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函數即可得出結論．

試題解析：（1）BC+CD=AC；

理由：如圖1，

延長CD至E，使DE=BC，

∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，

∵∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACB+∠ACD=45°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴CE=AC，

∵CE=CE+DE=CD+BC，

∴BC+CD=AC；

（2）BC+CD=2ACcosα．

理由：如圖2，

延長CD至E，使DE=BC，

∵∠ABD=∠ADB=α，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，

∵∠ACB=∠ACD=α，

∴∠ACB+∠ACD=2α，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，

∴∠AEC=α，

過點A作AF⊥CE于F，

∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=ACcos∠ACD=ACcosα，

∴CE=2CF=2ACcosα，

∵CE=CD+DE=CD+BC，

∴BC+CD=2ACcosα．