Question

【題目】如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，分別與、交于點、.

（1）過點作的切線與相交于點，求證：；

（2）連接，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；

【解析】

（1）連接ON，如圖，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=DB，則∠1=∠B，再證明∠2=∠B得到ON∥DB，接著根據切線的性質得到ON⊥NE，然后利用平行線的性質得到結論；
（2）連接DN，如圖，根據圓周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，則可判斷四邊形CMDN為矩形，所以DM=CN，然后證明CN=BN，從而得到MD=NB．

證明：（1）連接ON，如圖，

∵CD為斜邊AB上的中線，
∴CD=AD=DB，
∴∠1=∠B，
∵OC=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B，
∴ON∥DB，
∵NE為切線，
∴ON⊥NE，
∴NE⊥AB；
（2）連接DN，如圖，

∵CD為直徑，
∴∠CMD=∠CND=90°，
而∠MCB=90°，
∴四邊形CMDN為矩形，
∴DM=CN，
∵DN⊥BC，∠1=∠B，
∴CN=BN，
∴MD=NB．