Question

【題目】已知：⊙O為Rt△ABC的外接圓，點D在邊AC上，AD=AO；

（1）如圖1，若弦BE∥OD，求證：OD=BE；

（2）如圖2，點F在邊BC上，BF=BO，若OD=2 ， OF=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）圓的直徑為．

【解析】試題分析：（1）連接AE交OD于點F，由AB為直徑，利用直角所對的圓周角為直角得到AE與BE垂直，再由BE與OD平行，得到AE垂直于OD，再由AD=AO，利用三線合一得到AE為角平分線，且F為OD中點，利用中位線定理得到BE=2OF，等量代換即可得證；

（2）分別作弦BE∥OD，AH∥OF，連接AE，BH，AE與BH交于點P，由（1）得到E與H分別為弧BC與弧AC的中點，進而確定出∠HAE=∠HBE=45°，根據AB為直徑，得到所對的圓周角為直角，確定出三角形APH與三角形BEP都為等腰直角三角形，由AP+PE求出AE的長，在直角三角形AEB中，利用勾股定理求出AB的長，即為圓的直徑．

試題解析：解：（1）證明：連接AE交OD于點F．∵AB為直徑，∴AE⊥BE，∵BE∥OD，∴AE⊥OD，∵AD=AO，∴AE平分∠CAB，∴OD=2OF，∵BE=2OF，∴BE=OD；

（2）分別作弦BE∥OD，AH∥OF，連接AE，BH，AE與BH交于點P，由（1）得：E為弧BC的中點，同理H為弧AC的中點，∴∠HAE=∠HBE=45°，∵AB為直徑，∴∠H=∠E=90°，∴AP=AH，PE=BE，∵點O為AB的中點，BE∥OD，∴EB=OD=，∴PE=BE=，同理AH=OF=3，∴AP=，在Rt△ABE中，AE=，BE=，根據勾股定理得：AB=，則圓的直徑為．