Question

如圖：已知拋物線（m＞0）與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點A，且點B在點C的左側．
（1）若該拋物線過點M（2，2），求這個拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，請在第四象限內的該拋物線上找到一點P，使△POC的面積等于△ABC面積的，求出P點坐標；
（3）在（1）的條件下，請在拋物線的對稱軸上找到一點H，使BH+AH最小，并求出H點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點M的坐標代入拋物線解析式可求出m的值，繼而確定拋物線解析式；
（2）先求出點B、點C的坐標，然后求出△ABC的面積，根據△POC的面積等于△ABC面積的，求出點P的縱坐標，代入拋物線可求出橫坐標．
（3）點C是點B關于對稱軸的對稱點，連接AC，則AC與對稱軸的交點是點H的位置，求出其坐標即可．
解答：解：（1）把點M（2，2）代入二次函數的解析式得：，
解得：m=4．
故所求二次函數為：．

（2）易求得原拋物線與x軸的交點為B（-2，0），C（4，0），
則BC=6，，
設點P的坐標為（x，y），
由題意得，=，
整理得：x²-2x-24=0，
解得：x₁=-4，x₂=6，
∵P點在第四象限，
∴x=6，y=-4，
∴P（6，-4）．

（3）易求得原拋物線的對稱軸為直線x=1，
連接AC，設AC所在的直線解析式為y=kx+b，
則有，
解得：，
故AC所在的直線解析式為：y=-x+2，
當x=1時，y=，
故點H的坐標為：（1，），
即當H點的坐標為：（1，）時，BH+AH最短．
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求二次函數解析式、軸對稱求最短路徑及三角形的面積，綜合考察的知識點較多，同學們注意培養自己解答綜合題的能力，將所學知識融會貫通．