Question

【題目】如圖所示，正五邊形ABCDE的對角線AC、BE相交于M．

（1）求證：四邊形CDEM是菱形；

（2）設MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2+2

【解析】試題分析：(1)先證明CDEM是平行四邊形，由于DE=DC，所以是菱形.

(2) 先證明△ABE∽△MAB，得到AB2=BEBM；ME2=BEBM，可解得BE長..

試題解析：

（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠D=××360°=108°，∠DCA=××360°=72°，
∴∠D+∠DCA=180°，
∴DE∥AC；同理可證DC∥BE，
∴四邊形DEMC為平行四邊形，而DE=DC，
∴四邊形CDEM是菱形．

（2）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AEB=××360°=36°，∠EAM=××360°=72°；
同理可求∠BAC=∠ABE=36°，
∴△ABE∽△MAB，
∴AB：BE=BM：AB，
∴AB2=BEBM；
∵ME2=BEBM，
∴ME=AB=4，BM=BE-4，
∴BE（BE-4）=16，
解得：BE=2+2或2-2（舍去）．