Question

8．（1）如圖1，已知，AB∥CD，EF分別交AB、CD于點E、F，EG、EH分別平分∠AEF、∠BEF交CD于G、H，則EG與EH的位置關系是垂直，∠EGH與∠EHG關系是互余；
（2）如圖2，已知：AB∥CD∥EF，BE、DE分別平分∠ABD、∠BDC，求證：BE⊥ED．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線定義得出∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠HEF=$\frac{1}{2}$∠BEF，求出∠GEF+∠HEF=90°，即可得出答案；
（2）根據平行線的性質得出∠ABD+∠BDC=180°，根據角平分線定義得出∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BDC，根據平行線的性質得出∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，求出∠BED=90°即可．

解答 （1）解：EG與EH垂直，∠EGH與∠EHG互余，
理由是：∵EG、EH分別平分∠AEF、∠BEF，
∴∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠HEF=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠GEF+∠HEF=90°，
∴EG與EH垂直，∠EGH與∠EHG互余，
故答案為：垂直，互余；

（2）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
又∵BE、DE分別平分∠ABD、∠BDC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BDC，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ABD+$\frac{1}{2}$∠BDC
=$\frac{1}{2}$（∠ABD+∠BDC）
=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴BE⊥ED．

點評 本題考查了平行線的性質和角平分線定義的應用，能靈活運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意：兩直線平行，同旁內角互補．