Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+b與雙曲線交于A，B兩點．P是線段AB上一點(不與點A，點B重合)，過點P作平行于x軸的直線交雙曲線于點M，過點P作平行于y軸的直線交雙曲線于點N．

（1）當點A的橫坐標為1時，求b的值：

（2）在（1）的條件下，設P點的橫坐標為m，

①若m=-1，判斷PM與PN的數量關系，并說明理由；

②若PM＜PN，結合函數圖象，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b=3；（2）PM=PN，理由見解析；（3）當-1<m<1時，PM<PN

【解析】

（1）利用求出點A的縱坐標，再將點A的坐標代入y=2x+b即可得到答案；

（2）①由（1）得到y=2x+3，由此得到點P的坐標，根據PM∥x軸，PN∥y軸代入求出M、N的坐標得到線段PM、PN的長度即可判斷出PM=PN；

②由圖象知點P與點C（-1,1）重合時，PM=PN，當點P在線段AC上時，PM縮小，PN增長，由此即可求出m的取值范圍.

（1）∵點A的橫坐標是1，

∴=5，

∴點A的坐標為（1,5），

將點A的坐標代入y=2x+b，得2+b=5，

解得b=3；

（2）PM=PN，

①由（1）得到y=2x+3，

∵m=-1，

∴y=-2+3=1，

∴點P的坐標為（-1,1），

∵PM∥x軸，

∴點M的縱坐標是1，

將y=1代入得x=5，

∴M（5,1），

∴PM=5-(-1)=6，

∵PN∥y軸，

∴點N的橫坐標是-1，

將x=-1代入得y=-5，

∴點N的坐標是（-1，-5），

∴PN=1-(-5)=6，

∴PM=PN；

②由圖象知：當點P與點C（-1,1）重合時，PM=PN，當點P在線段AC上時，PM縮小，PN增長，

∴當-1<m<1時，PM<PN.