Question

【題目】在△ABC中，P為邊AB上一點．

(1) 如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；

(2) 若M為CP的中點，AC＝2，

① 如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長；

② 如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①BP＝；②.

【解析】

試題分析：(1)根據已知條件易證△ACP∽△ABC，由相似三角形的性質即可證得結論；（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延長線于Q，設BP＝x，則PQ＝2x，易證△APC∽△ACQ，所以AC2＝AP·AQ，由此列方程，解方程即可求得BP的長；②如圖：作CQ⊥AB于點Q，作CP0＝CP交AB于點P0，再證△AP0C∽△MPB，（2）的方法求得AP0的長，即可得BP的長．

試題解析：（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，

∴△ACP∽△ABC，

∴AC：AB＝AP：AC，

∴AC2＝AP·AB；

（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延長線于Q，設BP＝x，則PQ＝2x

∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，

∴△APC∽△ACQ，

由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝

即BP＝；

②如圖：作CQ⊥AB于點Q，作CP0＝CP交AB于點P0，

∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ ，

設AP0=x，P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，

∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，

∴△AP0C∽△MPB，∴，

∴MP P0C＝AP0 BP＝x（－1＋x），

解得x＝

∴BP＝－1＋＝．