Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，連接EF．

（1）如圖1，求證：四邊形AEFG是菱形；

（2）如圖2，若E為BG的中點，過點E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中是CM長倍的所有線段．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是CM長倍的所有線段有AB、BF、CF、EM.

【解析】

（1）先證明四邊形AEFG是平行四邊形，再證明AE＝AG即可．

（2）先證明AB＝AG，再分別證明AB＝BF＝CF＝EM，CM＝AG即可．

（1）證明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，

∴∠ADF＝∠GFC＝90，

∴AE∥GF，

在△ABG和△FBG中，

，

∴△ABG≌△FBG，

∴AG＝FG，

∵∠FBG+∠BED＝90，

∵∠BED＝∠AEG，

∴∠FBG+∠AEG＝90，

∵∠ABG+∠AGE＝90，

∵∠ABG＝∠FBG，

∴∠AEG＝∠AGE，

∴AE＝AG，

∴AE＝FG，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

∵AE＝AG∴四邊形AEFG是菱形．

（2）解：∵四邊形AEFG是菱形，

∴AE＝AG，

∵BE＝EG，∠BAG＝90，

∴AE＝BE＝EG，

∴△AEG是等邊三角形，

∴∠AGE＝60，

在RT△ABG中，∵∠ABG＝30，

∴AB＝AG÷cos30=AG，

∵∠C＝30，

∴BC＝2AB，

∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，

∴BF＝FC，CM＝GM，

在RT△AEM中，∵∠AME＝∠C＝30，∠GEM+∠GME＝60，

∴∠GEM＝∠GME＝30，

∴EG＝AG＝GM＝CM，

∵EM∥FC，EF∥CM，

∴四邊形EFCM是平行四邊形，

∴AB＝BF＝CF＝EM＝CM，

∴是CM 倍的所有線段有AB、BF、CF、EM．