Question

17．如圖：已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC與E，F，給出以下五個結論：①EF=CP；②CF=AE；③2PF²=EF²；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．上述結論中始終正確的有（　　）

• A． ①②③④⑤
• B． ①②⑤
• C． ①③④⑤
• D． ②③④⑤

Answer 1

分析 ①錯誤．∠EPF繞點P旋轉過程中，PE的長度是變化的，所以EF的長度的變化的，而PC是不變的，故①錯誤．
②③⑤正確．只要證明△EPA≌△FPC，即可解決問題．
④正確．只要證明△PEF是等腰直角三角形即可．

解答 解：如圖，連接AP．

∵AB=AC，∠BAC=90°，PB=PC，
∴PA=PB=PC，AP⊥BC，
∴∠PAB=∠C=45°，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△EPA≌△FPC，
∴AE=CF，PE=PF，故②正確，S_△EPA=S_△FPC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$PF，
∴EF²=2PF²，故③正確，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△PAE+S_△PAF=S_△PFC+S_△PAF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故⑤正確，
∵∠EAF+∠EPF=180°，
∴∠AEP+∠AFP=360°-（∠EAF-∠EPF）=180°，故④正確，
∵∠EPF繞點P旋轉過程中，PE的長度是變化的，
∴EF的長度的變化的，而PC是不變的，故①錯誤，
故選D．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、四邊形的面積、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．