Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜邊AB上中線CD，得到第1個(gè)三角形ACD；DE⊥BC于點(diǎn)E，作Rt△BDE斜邊DB上中線EF，得到第2個(gè)三角形DEF；依次作下去…則第1個(gè)三角形的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，第n個(gè)三角形的面積等于$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等邊三角形，同理可得被分成的第二個(gè)、第三個(gè)…第n個(gè)三角形都是等邊三角形，再根據(jù)后一個(gè)等邊三角形的邊長是前一個(gè)等邊三角形的邊長的一半求出第n個(gè)三角形的邊長，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式求解即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
同理可得，被分成的第二個(gè)、第三個(gè)…第n個(gè)三角形都是等邊三角形，
∵CD是AB的中線，EF是DB的中線，…，
∴第一個(gè)等邊三角形的邊長CD=DB=$\frac{1}{2}$AB=AC=a，
∴第一個(gè)三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
第二個(gè)等邊三角形的邊長EF=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{1}{2}$a，
…
第n個(gè)等邊三角形的邊長為$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a，
所以，第n個(gè)三角形的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a）=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積判斷出后一個(gè)三角形的邊長是前一個(gè)三角形邊長的一半，求出第n個(gè)等邊三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．