Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c與x軸交于點M，與y軸交于點N，拋物線的對稱軸與x軸交于點P，OM＝1，ON＝5．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點A是y軸正半軸上一動點，點B是拋物線對稱軸上的任意一點，連接AB、AM、BM，且AB⊥AM．

①AO為何值時，△ABM∽△OMN，請說明理由；

②若Rt△ABM中有一邊的長等于MP時，請直接寫出點A的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）①AO為10時，△ABM∽△OMN；②A的坐標為（0，）或（0， ）或（0， ）．

【解析】

（1）將M、N的坐標代入列方程組求出a，c的值即可；

（2）①設A（0，m），用m的代數式分別表示AB、AM，然后△ABM∽△OMN列出等式求出m的值；

②分3種情況討論Ⅰ．當AB＝MP＝3時，Ⅱ．當AM＝MP＝3時，Ⅲ．當BM＝MP＝3時，分別求出m的值．

解：（1）∵OM＝1，ON＝5，

∴M（﹣1，0），N（0，5），

將M（﹣1，0），N（0，5）代入y＝ax2+4x+c，

a＝﹣1，c＝5，

拋物線的表達式為y＝﹣x2+4x+5；

（2）①AO為10時，△ABM∽△OMN．理由如下：

設A（0，m），則OA＝m，，

∵kAM＝m，AB⊥AM，

∴kAB＝﹣，

∴直線AB表達式：,

∵拋物線y＝﹣x2+4x+5對稱軸：直線x＝2，

∵△ABM∽△OMN，

∴

化簡，得 m4﹣99m2﹣100＝0，

（m2﹣100）（m2+1）＝0，

∵m2+1≠0，

∴m2﹣100＝0，

∴m＝10或﹣10（舍去）

AO＝10，即AO為10時，△ABM∽△OMN．

②A的坐標為

∵M（﹣1，0），P（2，0），

∴MP＝2﹣（﹣1）＝3

Ⅰ．當AB＝MP＝3時，

解得

Ⅱ．當AM＝MP＝3時，

解得

Ⅲ．當BM＝MP＝3時，

m＝或﹣（舍去），

故求得符合條件的A的坐標為