Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若CD=4，AD=8，試求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】分析：(1)、連接OC，根據切線以及等腰三角形的性質得出∠DAC=∠CAB，從而得出角平分線；(2)、作OE⊥AD于點E，設⊙O的半徑為x，根據題意得出四邊形OEDC是矩形，然后根據Rt△AOE的勾股定理得出答案．

詳解：（1）證明：如圖1，連接OC， ∵CD是切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，

∴∠1=∠4． ∵OA=OC，∴∠2=∠4，∴∠1=∠2， ∴AC平分∠DAB．

（2）解：如圖2，作OE⊥AD于點E，

設⊙O的半徑為x，∵AD⊥CD，OE⊥AD， ∴OE∥CD；

由（1），可得AD∥OC，∴四邊形OEDC是矩形，∴OE=CD=4，AE=AD﹣DE=8﹣x，

∴42+（8﹣x）2=x2， ∴80﹣16x+x2=x2， 解得x=5， ∴⊙O的半徑是5．