Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不與D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,如圖①．

⑴ 求CD的長(zhǎng)及∠1的度數(shù)；
⑵ 設(shè)DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？
⑶ 當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段BC上時(shí),如圖②,若此時(shí)將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到線段AB上時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)平移時(shí)間為t（秒）,在平移過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

30；當(dāng)時(shí)，y的值最大為；

解析試題分析：⑴ 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H ，則AH=AB·=

∴CD=AH= 
∵   ∴∠CAD=30°
∵EF∥AC   ∴∠1=∠CAD=30°      4分
⑵當(dāng)點(diǎn)G恰好在BC上時(shí)，由折疊可知 △FGE≌△FDE  

∴ GE="DE" =x，∠FEG=∠FED=60°，∴∠GEC=60°
因?yàn)椤鰿EG是直角三角形， ∴∠EGC="30°"
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得 , ∴x=
① 當(dāng)時(shí)

∴當(dāng)x=時(shí)， =
② 當(dāng)＜x≤時(shí)，設(shè)FG，EG分別交BC于點(diǎn)M、N

∵DE=x  ∴EC=，NE=2
∴NG=GE－NE==
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°
∴MG==
 


 
∴當(dāng)時(shí)，= 
綜合兩種情形：由于＜ ∴ 當(dāng)時(shí)，y的值最大為  9分
(3)由題意可知:AB=6,分三種情況：
①當(dāng)AE=BE時(shí),t=9
②當(dāng)AB=AE時(shí), t=9－2
③當(dāng)BA=BE時(shí)，t=12－
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng)：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和最小值問(wèn)題相結(jié)合，有較大的思維跳躍，考查了同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合思維能力，是一道好題．