Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以2cm/s的速度向點B移動，點Q以1cm/s的速度向點D移動，當一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動．
（1）經過幾秒鐘，點P、Q之間的距離為5cm？
（2）連接PD，是否存在某一時刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此時的移動時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點Q作QE⊥AB于點E，過點A作AF⊥CD于點F，可得出DF=4，再由勾股定理得出AF，從而計算出QE，根據AP=2t，CQ=t，則PE=6-3t，在Rt△PEQ中，根據勾股定理可求得t的值，再由0≤t≤3，求出點P、Q之間的距離；
（2）假設存在某一時刻，使得PD恰好平分∠APQ，則∠APD=∠DPQ，由AB∥CD，則∠APD=∠PDQ，∠PDQ=∠DPQ，從而得出DQ=PQ，根據勾股定理可求得t，由t的取值范圍再得出結論．

解答：解：（1）過點Q作QE⊥AB于點E，過點A作AF⊥CD于點F．
∵AB=CF=6，CD=10，
∴DF=4．
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=3，
∴QE=AF=3，
∵AP=2t，CQ=t，
∴PE=6-3t
在Rt△PEQ中，∵PE²+EQ²=PQ²，
∴（6-3t）²+3²=5²，
∴t=

2

3

或t=

10

3

…（2分）
∵0≤t≤3，
∴t=

10

3

舍去
∴經過

2

3

秒鐘，點P、Q之間的距離為5cm   …（3分）；
                
（2）假設存在某一時刻，使得PD恰好平分∠APQ，則∠APD=∠DPQ．
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠DPQ，
∴DQ=PQ      …（4分）
∵PQ²=3²+（3t-6）²，DQ²=（10-t）²，
∴3²+（6-3t）²=（10-t）²…（6分）
解得t₁=1+

3 14

4

，t₂=1-

3 14

4

…（7分）
∵0＜t≤3，
∴兩解均舍去，
∴不存在某一時刻，使得PD恰好平分∠APQ…（8分）．

點評：本題考查了解一元二次方程、勾股定理以及直角梯形，是一道綜合題，難度較大．