Question

【題目】已知：點C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段 BD、CE交于點M．

（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數量關系？并說明理由；

②求∠BMC的大小（用α表示）；

（2）如圖2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE則線段BD與CE的數量關系為 ，∠BMC= （用α表示）；

（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點A逆時針旋轉180°，在備用圖中作出旋轉后的圖形（要求：尺

規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接 EC并延長交BD于點M.則∠BMC= （用α表示）．

Answer 1

【答案】（1）①BD=CE，理由見解析②180°－2α（2）BD=kCE，α（3）

【解析】解：（1）如圖1。

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。同理可得：∠BAC=180°－2α。∴∠DAE=∠BAC。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。

在△ABD與△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。

②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。

（2）如圖2，BD=kCE，α。

（3）作圖如下：

。

（1）①先根據等腰三角形等角對等邊的性質及三角形內角和定理得出∠DAE=∠BAC，則∠BAD=∠CAE，再根據SAS證明△ABD≌△ACE，從而得出BD=CE。

②先由全等三角形的對應角相等得出∠BDA=∠CEA，再根據三角形的外角性質即可得出

∠BMC=∠DAE=180°－2α。

（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=。

同理可得：∠BAC=。

∴∠DAE=∠BAC。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。

∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD與△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。

∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=。

（3）先在備用圖中利用SSS作出旋轉后的圖形，再根據等腰三角形等角對等邊的性質及三角形內角和定理得出∠DAE=∠BAC=，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，從而證出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根據三角形的外角性質即可得出∠BMC=：

∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=。

同理可得：∠BAC=。

∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。

∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD與△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。

∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，

∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=+α=。