Question

【題目】四邊形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是對角線 AC上的兩個動點，分別從 A，C 同時出發， 相向而行，速度均為 1cm/s，運動時間為 t 秒，當其中一個動點到達后就停止運動．
（Ⅰ）若 G，H 分別是 AB，DC 中點，求證：四邊形 EGFH 始終是平行四邊形．
（Ⅱ）在（1）條件下，當 t 為何值時，四邊形 EGFH 為矩形．
（Ⅲ）若 G，H 分別是折線 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的動點，與 E，F 相同的速度同時出發，當 t 為何值時，四邊形 EGFH 為菱形．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC= =5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H 分別是 AB，DC 中點，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
在△AFG 和△CEH中，

∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四邊形 EGFH 是平行四邊形．
（Ⅱ） 由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四邊形 BCHG 是平行四邊形，
∴GH=BC=4，當 EF=GH=4 時，平行四邊形 EGFH 是矩形，分兩種情況：
①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；
綜上所述：當 t 為 0.5s 或 4.5s 時，四邊形 EGFH 為矩形．
（Ⅲ）連接 AG、CH，如圖所示：
∵四邊形 EGFH 為菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四邊形 AGCH 是菱形，
∴AG=CG，
設 AG=CG=x，則 BG=4﹣x， 由勾股定理得：AB2+BG2=AG2 ， 即 32+（4﹣x）2=x2 ，
解得：x= ，
∴BG=4﹣ = ，
∴AB+BG=3+ = ，
即 t 為 s 時，四邊形 EGFH 為菱形．

【解析】（Ⅰ）由矩形的性質得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS證明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出結論；
（Ⅱ）先證明四邊形BCHG是平行四邊形，得出GH=BC=4，當對角線EF=GH=4時，平行四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；
（Ⅲ）連接AG、CH，由菱形的性質得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，證出四邊形AGCH是菱形，得出AG=CG，設AG=CG=x，則BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG= ，即可得出t的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握菱形的性質(菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半)的相關知識才是答題的關鍵．