Question

如圖1，點A、B、P分別在兩坐標軸上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以點P為圓心、PB為半徑作⊙P，作∠OBP的平分線分別交⊙P、OP于C、D，連接AC．
（1）求證：直線AB是⊙P的切線．
（2）設△ACD的面積為S，求S關于m的函數關系式．
（3）如圖2，當m=2時，把點C向右平移一個單位得到點T，過O、T兩點作⊙Q交x軸、y軸于E、F兩點，若M、N分別為兩弧

OE

、

OF

的中點，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足為G、H，試求MG+NH的值．

Answer 1

分析：（1）根據切線的判定定理證得∠ABP=90°后即可判定切線；
（2）連接PC，根據∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，從而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面積公式得到S=

3

2

m²；
（3）作TJ⊥x軸，TK⊥y軸，連接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，從而得到NH=

1

2

NR=

1

2

OF和MG=

1

2

OE，最后求得MG+NH=

1

2

（OE+OF）=

1

2

×4=2

解答：解：（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，
∴PB=m，
∴PO=

1

2

PB=

1

2

m，OB=

3

2

m，
又∵PA=2m，
∴OA=

3

2

m，
在RT△OAB中，AB=

3

m
∴PA²+AB²=PA²
∴∠ABP=90°，
∵PB是⊙P的半徑，
∴直線AB是⊙P的切線．

（2）連接PC，
∵∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，
∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD
∴AD=AB=

3

m，
又∵PB=PC=m，
∴PC∥OC
∴∠CPA=∠POB=90°，
∴S△ACD=

1

2

AD×CP=

1

2

×

3

m×m=

3

2

m²；

（3）作TJ⊥x軸，TK⊥y軸，連接ET、FT，
當m=2時，PO=

1

2

m，由（2）知∠CPA=90°，
∴C點WEI （1，-2），
∴T為（2，-2，）TJ=TK=2，
∴點T在∠EOF的平分線上，
∴

ET

=

FT

∴TE=TF，
∴△ETJ≌△FTK，
∴EF=FK，
∴OE+OF=OJ-EJ+OK+FK=OJ+OK=4
延長NH交⊙Q于R，連接QN，QR，∵∠EOF=90°，
∴EF為⊙Q的直徑，∴

FR

=

FN

∴

FO

=

NR

∴NR=OF
∴NH=

1

2

NR=

1

2

OF
同理MG=

1

2

OE
∴MG+NH=

1

2

（OE+OF）=

1

2

×4=2

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，難度較大，一般為中考題的壓軸題．