Question

已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C、D兩點，CD＝2，∠DAB=30°,動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q，

（1）當點P，運動到Q、C兩點重合時（如圖1），求AP的長。

（2）點運動過程中，有幾個位置（幾種情況）使△CQD的面積為?（　直接寫出答案）

（3）當使△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的的上半圓上，CQ＞QD時（如圖2），求AP的長。

 

Answer 1

（1）本小問是利用切線的性質(zhì)，得到∠ACP＝90°，CD＝2，得到半徑的長度：OD＝OC＝OB

從而利用解直角三角形的方法來解得AP的長度。

解：∵AB是圓O的切線

∴∠OBA＝90°

∵ABC中，CD＝2，∠DAB=30°

∴OB＝1

∴OB＝OC＝AC＝1

∵當點P，運動到Q、C兩點重合時

∴PC為圓O的切線

∴∠PCA＝90°

∵∠DAB=30°，AC＝1

∴AP＝

（2）利用三角形的面積公式，知底和積可求高，然后用平行線去截圓，即可以得到解。

由于CD的長度2，而S△CQD＝，故CD上的高的長度為：，從而如圖，我們可得到答案：

（3）利用S△CQD＝，求出CD上的高QN的長度，過點PM⊥AD于點M，

然后利用相似△QCN∽△DQN求出CN的長度，再次利用相似△PMC∽△QNC，從而得到MC與MP的關系，由已知易知AM＝，由AC＝1，從而可以解出MP，從而求出AP的長度。