Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE∥AB交BC于E，求證CT=BE

．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

過T作TF⊥AB于F，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等得TF=CT，再根據角平分線的定義和等角的余角相等的性質得到∠CDT=∠CTD，所以CD=CT，再證明△CDE和△TFB全等，然后根據全等三角形對應邊相等可以得到CE=TB，都減去TE即可得到CT=BE．

證明：過T作TF⊥AB于F，

∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，

∴CT=TF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），

∵∠ACB=90°，CM⊥AB，

∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，

∵AT平分∠BAC，

∴∠DAM=∠CAT，

∴∠ADM=∠ATC，

∴∠CDT=∠CTD，

∴CD=CT，

又∵CT=TF（已證），

∴CD=TF，

∵CM⊥AB，DE∥AB，

∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，

在△CDE和△TFB中，

,

∴△CDE≌△TFB（AAS），

∴CE=TB，

∴CE-TE=TB-TE，

即CT=BE．