Question

【題目】學習過三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．

類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sad A=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．

根據上述對角的正對定義，解下列問題：

（1）求sad60°的值；

（2）對于0°＜A＜180°，求∠A的正對值sadA的取值范圍．

（3）已知sinα=，其中α為銳角，試求sadα的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）0＜sadA＜2；（3） ．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，求出底角的度數，判斷出三角形為等邊三角形，再根據正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構造等腰三角形ACD，根據正對的定義解答．

（1）根據正對定義，

當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，

則三角形為等邊三角形，

則sad60°= =1．

（2）當∠A接近0°時，sadα接近0，

當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．

（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．

在AB上取點D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H為垂足，

令BC=3k，AB=5k，

則AD=AC= =4k，

又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．

∴DH=AD sin∠A= k，AH= = k．

則在△CDH中，CH=AC﹣AH= k，CD= = k．

于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．

由正對的定義可得：sadA= ，即sadα= ．