Question

如圖，在平面直角坐標系中，A點的坐標為（0，3），以O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標軸分別交于A、B、C、D四點，弦AF交半徑OB于點E，過點F作⊙O的切線分別交x軸、y軸于P、Q兩點．
（1）求證：PE=PF；
（2）若∠FAQ=30°，求直線PQ的函數表達式；
（3）在（2）的前提下，動點M從點A出發，以單位長度/s的速度沿向終點F運動（如圖2），設運動時間為t s，那么當t為何值時，△AMF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）連OF，如圖1，根據切線的性質得到∠1+∠2=90°，而∠4+∠A=90°，∠4=∠3，則∠3+∠A=90°，而∠1=∠A，可得到∠2=∠3，即可得到結論；
（2）由∠FAQ=30°，易得到∠FQO=30°，而OF=3，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到OQ=2OF=6，OP=OQ=2，則P（-2，0），Q（0，-6），然后利用待定系數法確定直線PQ的函數表達式；
（3）要使△AMF的面積最大，則AF邊上的高最大，即M運動到的中點．過O作ON⊥AF于N，交于M′，如圖2，根據垂徑定理得到AN=FN，弧AM′=弧FM′，在Rt△ANO中，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到ON=OA=，AN=，則AF=2AN=3，M′N=+3=，然后根據三角形面積公式即可求最大面積即△AM′F的面積；又∠AOF=120°，得到∠AOM′=∠FOM′=120°，根據弧長公式計算出弧AM′的長度，然后除以速度即可得到此時t的值．
解答：（1）證明：連OF，如圖1，
∵PQ切⊙O于F點，
∴OF⊥PQ，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠4+∠A=90°，
而∠4=∠3，
∴∠3+∠A=90°，
又∵OA=OF，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
∴PE=PF；

（2）解：如圖1，
∵∠FAQ=30°，
∴∠1=30°，
∴∠FOQ=60°，
∴∠FQO=30°，
又∵A點的坐標為（0，3），
∴OF=3，
∴OQ=2OF=6，
OP=OQ=2，
∴P（-2，0），Q（0，-6），
設直線PQ的函數表達式為y=kx+b，
把P（-2，0），Q（0，-6）代入得，-2k+b=0，b=-6，解得k=-，b=-6，
∴直線PQ的函數表達式為y=-x-6；

（3）解：要使△AMF的面積最大，則AF邊上的高最大，過O作ON⊥AF于N，交于M′，如圖2，
∴AN=FN，弧AM′=弧FM′，
在Rt△ANO中，∠NAO=30°，OA=3，
∴ON=OA=，AN=，
∴AF=2AN=3，
∴M′N=+3=，
∴△AM′F的面積=××3=；
∵∠AOF=120°，
∴∠AOM′=∠FOM′=120°，
∴弧AM′的長度==2π，
∴t==6（s），
∴當t為6s時，△AMF的面積最大，最大面積是．
點評：本題考查了一次函數的綜合題：利用待定系數法確定一次函數的解析式；同時運用切線的性質定理、垂徑定理、圓周角定理以及弧長公式；也考查了含30°的直角三角形三邊的關系．