Question

3．問題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．

【發現證明】
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，從而發現EF=BE+FD，請你利用圖1證明上述結論．
【類比引申】
如圖2，四邊形ABCD中∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足∠BAD=2∠EAF關系時，仍有EF=BE+FD
【探究應用】
如圖3，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成的ABCD，已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（$\sqrt{3}-1）米$，米，現要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結果取整數，參考數據：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{3}$=1.73）．

Answer 1

分析 【發現證明】根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．
【類比引申】延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究應用】利用等邊三角形的判定與性質得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，只要再證明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．

解答 【發現證明】證明：如圖（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．

【類比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如圖（2），延長CB至M，使BM=DF，連接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠D}\\{BM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠FAE=∠MAE}\\{AF=AM}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．

【探究應用】如圖3，把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，連接AF，過A作AH⊥GD，垂足為H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=80米．
根據旋轉的性質得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即點G在 CD的延長線上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$，HF=HD+DF=40+40（$\sqrt{3}$-1）=40$\sqrt{3}$，
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°
從而∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根據上述推論有：EF=BE+DF=80+40（$\sqrt{3}$-1）≈109（米），
即這條道路EF的長約為109米．

點評 此題主要考查了四邊形綜合題，關鍵是正確畫出圖形，證明∠BAD=2∠EAF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．