Question

在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發，沿AB邊向點B以1cm/秒的速度移動，同時，點Q從點B出發沿BC邊向點C以2cm/秒的速度移動．如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，回答下列問題：
（1）運動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8cm²？
（2）設運動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為Scm²，寫出S與t的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍；寫出t為何值時，s的值最小．
（3）當t=

3

2

時，試判斷△DPQ的形狀．
（4）計算四邊形DPBQ的面積，并探索一個與計算結果有關的結論．

Answer 1

分析：（1）設出運動所求的時間，可將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；
（2）設運動時間為t，首先表示出△PBQ的面積，再利用S_{五邊形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ，求出t的值以及五邊形最值即可即可；
（3）表示出DP ²=146.25，PQ ²=29.25，DQ ²=117，進而得到PQ ²+DQ ²=DP ²，得出答案；
（4）根據表示出四邊形面積，求出即可．

解答：解：（1）設經過t秒，△PBQ的面積等于8cm²則：
BP=6-t，BQ=2t，
所以S_△PBQ=

1

2

×（6-t）×2t=8，即t²-6t+8=0，
可得：t=2或4，即經過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm²．

（2）根據（1）中所求出的S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

×（6-t）×2t，
整理得S_△PBQ=-t²+6t（0＜t＜6）．
則S_{五邊形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ=72-（-t²+6t）=t²-6t+72=（t-3） ²+63（0＜t＜6），
當t=-

b

2a

=3時，S_{五邊形APQCD}=63，
故當t=3秒，五邊形APQCD的面積最小，最小值是63cm²，

（3）當t=1.5s時，
RP=1.5，BP=4.5，CQ=9，
∴DP ²=146.25，PQ ²=29.25，DQ ²=117，
∴PQ ²+DQ ²=DP ²，
∴△DPQ為Rt△；

（4）S_DPBQ=6×12-

1

2

t×12-

1

2

×6（12-2t），
=72-36，
=36，
∴四邊形DPBQ的面積是固定值36．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用，是典型的動點問題，涉及到矩形及三角形的面積公式，二次函數的最值問題，比較簡單．