Question

【題目】如圖，已知直線y＝+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90o、點(diǎn)P(x、y)為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B、C重合)，設(shè)△OPA的面積為S。

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的的取值范圍;

（3）△OPA的面積能于嗎，如果能，求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)，如果不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（4，3）；（2）S=， 0＜x＜4;（3）不存在.

【解析】

（1）直線y＝+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，易證△AOB≌△CHA，從而得到AH=OB、CH=AO，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）易求直線BC解析式，過P點(diǎn)作PG垂直x軸，由△OPA的面積=即可求出S關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（3）當(dāng)S=求出對(duì)應(yīng)的x即可.

解：（1）∵直線y＝+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴A點(diǎn)（3，0），B點(diǎn)為（0，1），

如圖：過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，

則∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，

，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=3，OB=HA=1，
∴OH=OA+AH=4

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）；

（2）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，由B（0，1），C（4，3）得：

，解得，

∴直線BC解析式為，

過P點(diǎn)作PG垂直x軸，△OPA的面積=,

∵PG=，OA=3，

∴S==；

點(diǎn)P(x、y)為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B、C重合)，

∴0＜x＜4.

∴S關(guān)于x的函數(shù)解析式為S=， x的的取值范圍是0＜x＜4;

（3）當(dāng)s=時(shí)，即，解得x=4，不合題意，故P點(diǎn)不存在.