Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的頂點，動點，同時從點出發，點沿射線方向以每秒個單位的速度運動，點沿線段方向以每秒個單位的速度運動，當點到達點時，點，同時停止運動，連接，設運動時間為（秒）．

（1）求證；

（2）當點運動到點時，若雙曲線的圖象恰好過點，試求的值；

（3)連接，當為何值時，為等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)k=4.32;(3) ∴當t=或t=或t=時為等腰三角形．

【解析】

（1）只需證明 ，即可完成證明；

（2）先確定ON的長度，再確定點N的坐標，再利用待定系數法求解即可；

（3）分當NB=CB或CN=BN或CN=BC分類討論解答即可；

（1）證明：由題意：OA=6，AB=8，BC=6,OB=10，OM=t，ON=0.6t，

∴

又∵∠MON=∠AOB，

∴△ONM∽△OAB.

（2）當點運動到點時，即OM=5時，ON=0.6t=3

過N作NF⊥y軸,NE⊥x軸,設N點坐標為（m，n）

∴sin∠COB=

∴FN=1.8

同理:NE=2.4

∴N點坐標為(1.8,2.4)

∵雙曲線的圖象恰好過點

∴k=2.4×1.8=4.32

(3)①當NB=CB時,即10-0.6t=6,解得t= 時, 為等腰三角形．

②當CN=BN時,即N在CB的垂直平分線上,

∴N為OB的中點

∴ON=5=0.6t

∴t=

③當CN=BC=6時,設N點坐標為(3a,4a),則ON=5a=0.6t

∴ 即,解得a=2或a=

當a=2時,ON=10,N點和B點重合,不能構成三角形,舍去;

當a=時, ON=5a=2.8=0.6t,解得t=

∴當t=或t=或t=時為等腰三角形．