Question

【題目】拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，點為拋物線頂點；

（1）求點和點的坐標；

（2）連結、，拋物線的對稱軸與軸交于點．

①若線段上有一點，使，求點的坐標；

②若拋物線上一點，作，交直線于點，使，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為，點的坐標為；（2）①；②或

【解析】

（1）令y=0，找到A、B兩點的左邊，在進行配方，便可找到D點坐標.

(2)①先找C、D的坐標，連接，過點作于，則點坐標為，判斷為直角三角形，分別延長、，與軸相交于點，。去證明，根據對應邊成比例，找到Q的坐標，從而求出直線、直線解析式，這樣便可找到P的坐標了.

②分兩種情況討論（I）當點在對稱軸右側時（II）當點在對稱軸左側時。通過找三角形相似，結合等腰三角形性質，進行求解，最后找到點M的坐標.

解：（1）拋物線與軸交于，兩點（點在點左側），

當時，，

解得或，

點的坐標為．

，

頂點的坐標為；

（2）①如下圖

拋物線與軸交于點，

點坐標為．

對稱軸為直線，

點的坐標為．

連接，過點作于，則點坐標為．

，

，

，，為直角三角形．

分別延長、，與軸相交于點，．

，

，

，

，

，

，即．

直線的解析式為，

直線的解析式為．

由方程組，解得．

點的坐標為；

②（I）當點在對稱軸右側時

若點在射線上，如備用圖1，延長交軸于點，過點作軸于點．

，，

，

，

．

設，則．

，

，均為等腰直角三角形，

，，

，

，

，

代入拋物線，解得，

；

備用圖1

若點在射線上，如備用圖2，交軸于點，過點作軸于點．

，，

，

．

設，則．

，

，均為等腰直角三角形，

，，

，

，

，

．

代入拋物線，解得

；

（II）當點在對稱軸左側時

，

，

而拋物線左側任意一點，都有，

點不存在

綜上可知，點坐標為或．

備用圖2